Stichpunkte
Einleitung
Natürliche Zahlen
Natürliche Zahlen nach Peano
Rechenoperatoren
Addition
Herleitung der Additionsvorschrift
Nutzbarkeit der Definition als Arbeitsvorschrift
Vergleich der Idee hinter der Definition mit den Rechenmethoden von Kindern und Erwachsenen
Addition mehrerer Summanden
Subtraktion
Herleitung der Subtraktionsvorschrift
Nutzbarkeit der Definition als Arbeitsvorschrift
Idee hinter der Definition
Subtraktion mehrerer Zahlen
Multiplikation
Herleitung der Multiplikationsvorschrift
Nutzbarkeit der Definition als Arbeitsvorschrift
Idee hinter der Definition
Division
Herleitung der Divisionsvorschrift
Nutzbarkeit der Definition als Arbeitsvorschrift
Vergleich mit der Divisionsmethode von Kindern
Relationen
Gleichheit
Kleiner-, Kleinergleich-, Größergleich- und Größerrelation
Idee hinter der Definition
Natur des Anfangselements und der Nachfolgerfunktion
Mengentheoretische Realisierung der natürlichen Zahlen
Verallgemeinerung der mengentheoretischen Realisierung der Peano-Axiome
Visualisierung natürlicher Zahlen am Zahlenstrahl
Ganze Zahlen
Ganze Zahlen als Verknüpfung der positiven natürlichen Zahlen mit zwei Symbolen
Vorteile dieser Definition
Nachteile dieser Definition
Abwägung der Vor- und Nachteile
Ganze Zahlen als Paare natürlicher Zahlen
Vor- und Nachteile dieser Definition
Relationen
Äquivalenzrelation
Illustration des Äquivalenzkonzepts anhand der Kongruenz in der Geometrie
Eigenschaften der Äquivalenzrelation
Definition der Zahlensymbole für ganze Zahlen
Kleiner-, Kleinergleich-, Größergleich- und Größerrelation
Rechenoperatoren
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Größerwerden der Paarkomponenten
Vergleich der Rechenvorschriften der natürlichen Zahlen mit denen der ganzen Zahlen
Beweis der Gültigkeit der Umformungsregel \left(-x\right) \left(-y\right) = x y
Division
Eindeutigkeit der Repräsentation
Eindeutigkeit durch Normalisierung
Eindeutigkeit durch Äquivalenzklassen
Wiederherstellung der Neutralität der Null
Einbettung der natürlichen Zahlen in die ganzen Zahlen
Rationale Zahlen
Relationen
Äquivalenzrelation
Definition der Zahlensymbole für rationale Zahlen
Kleiner-, Kleinergleich-, Größergleich- und Größerrelation
Rechenoperatoren
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Eindeutigkeit der Repräsentation
Eindeutigkeit durch Normalisierung
Eindeutigkeit durch Äquivalenzklassen
Einbettung der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen
Reelle Zahlen
Unkonstruktive Realisierung der reellen Zahlen
Konstruktive Realisierung der reellen Zahlen
Surreale Zahlen
Rekapitulation des konventionellen Aufbaus
Unzufriedenheiten mit dem konventionellen Aufbau
Komplexität durch den "gestapelten" Aufbau
Unzulänglichkeiten im Umgang mit Unendlichkeiten
Alternativer Ansatz durch die surrealen Zahlen
Konstruktionsregel
Konstruktion der Null
Vergleichsregel
Äquivalenzrelation der surrealen Zahlen
Addition auf den surrealen Zahlen
Fortsetzung des Konstruktionsverfahrens
Anwendungen der surrealen Zahlen
Bestimmung des Verhaltens von Funktionen im Unendlichen
Bestimmung des Verhaltens von Funktionen an Polstellen
Beschreibung von Spielen im Rahmen der kombinatorischen Spieltheorie
Probleme und offene Fragen bei den surrealen Zahlen
Größere Komplexität im Vergleich zum konventionellen Aufbau der Zahlenbereiche
"Lücken" in der Zahlengeraden
Stetigkeit, Differentiation und Integration
Probleme bei der Anwendung der surrealen Zahlen als "Grenzwertersatz"
Mengentheoretische Probleme
Zusammenfassung und Ausblick
Erklärung zur Facharbeit