0.0.1 ↑ 105. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 235, Aufgabe 1
Beweise folgenden Satz mit dem Skalarprodukt:
In jeder Raute stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht.
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}\begin{array}{rcl} {} \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} &=& {} \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right) \left(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\right) = {} \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right) \left(\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB}\right) = \\ {} &=& {} -\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right) \left(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}\right) = {} -\left({\overrightarrow{AB}}^2 - {\overrightarrow{BC}}^2\right) = \\ {} &=& {} -\left(\left|\overrightarrow{AB}\right| - \left|\overrightarrow{BC}\right|\right) = {} 0; \end{array}
0.0.1.2 ↑ Geometrie-Buch Seite 235, Aufgabe 4
Beweise folgenden Satz mit dem Skalarprodukt:
Satz über die Höhen im Dreieck:
Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Voraussetzung: \overrightarrow{CS} \overrightarrow{AB} = 0; \quad \overrightarrow{AS} \overrightarrow{BC} = 0;
Behauptung: \overrightarrow{BS} \overrightarrow{AC} = 0;
Begründung der Behauptung: Wenn \overrightarrow{BS} auf \overrightarrow{AC} tatsächlich senkrecht steht, dann ist BS die Höhe des Dreiecks auf B. Das kann aber nur dann der Fall sein, wenn die Höhe auch tatsächlich durch S geht.