«K12/K13» 106. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 106. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 230, Aufgabe 7

Gib die Gleichung einer Ursprungsgeraden u$u$ an, die g{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}3\\5\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!$g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 1\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ senkrecht schneidet.

\left|\vec X\right|^2 = \left(3 + 2 \mu\right)^2 + \left(5 + \mu\right)^2 + \left(1 + 3 \mu\right)^2 = 35 + 28 \mu + 14 \mu^2;${\left|\overrightarrow{X}\right|}^2={\left(3+2\mu \right)}^2+{\left(5+\mu \right)}^2+{\left(1+3\mu \right)}^2=35+28\mu +14{\mu }^2;$

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left|\vec X\right|^2 = 28 \mu + 28 \stackrel{!}{=} 0;$\frac{\text{d}}{\text{d}\mu }{\left|\overrightarrow{X}\right|}^2=28\mu +28\stackrel{!}{=}0;$ ⇔ \mu = -1;$\mu =-1;$

u{:}\, \vec X = \lambda \vec X_g(-1) = \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}1\\4\\-2\end{smallmatrix}\!\right)\!;$u:\overrightarrow{X}=\lambda {\overrightarrow{X}}_g\left(-1\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -2\end{array}\right);$

0.0.1.2 ↑ Geometrie-Buch Seite 230, Aufgabe 8

g{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}3\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}0\\1\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad P(1,-1,1);$g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right);P\left(1,-1,1\right);$

a)

Berechne den Fußpunkt F$F$ des Lots von g$g$ durch P$P$.

\left|\overrightarrow{PX}\right|^2 = \left|\left(\!\begin{smallmatrix}2\\2\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}0\\1\\2\end{smallmatrix}\!\right)\right|^2 = 8 + 4\mu + 5\mu^2;${\left|\overrightarrow{PX}\right|}^2={\left|\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)\right|}^2=8+4\mu +5{\mu }^2;$

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left|\overrightarrow{PX}\right|^2 = 4 + 10 \mu \stackrel{!}{=} 0;$\frac{\text{d}}{\text{d}\mu }{\left|\overrightarrow{PX}\right|}^2=4+10\mu \stackrel{!}{=}0;$ ⇔ \mu = -\frac{2}{5};$\mu =-\frac{2}{5};$

\vec F = \vec X_g\!\left(-\frac{2}{5}\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}3\\3/5\\1/5\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{X}}_g\left(-\frac{2}{5}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 3∕5\\ 1∕5\end{array}\right);$

b)

Gib eine Gleichung der Normalen n$n$ von g$g$ durch P$P$ an.

n{:}\, \vec X = \vec F + \lambda \overrightarrow{FP} = \left(\!\begin{smallmatrix}3\\3/5\\1/5\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}-2\\-8/5\\4/5\end{smallmatrix}\!\right)\!;$n:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{F}+\lambda \overrightarrow{FP}=\left(\begin{array}{c}3\\ 3∕5\\ 1∕5\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}-2\\ -8∕5\\ 4∕5\end{array}\right);$

c)

Berechne den Abstand von P$P$ und g$g$.

\left|\overrightarrow{P F}\right| = \left|\overrightarrow{P X\!\left(\frac{2}{5}\right)}\right| = \sqrt{8 + 4 \left(-\frac{2}{5}\right) + 5 \left(-\frac{2}{5}\right)^2} = \frac{6}{\sqrt{5}};$\left|\overrightarrow{PF}\right|=\left|\overrightarrow{PX\left(\frac{2}{5}\right)}\right|=\sqrt{8+4\left(-\frac{2}{5}\right)+5{\left(-\frac{2}{5}\right)}^2}=\frac{6}{\sqrt{5}};$

d)

P'$P^{\prime }$ und P$P$ sind symmetrisch bezüglich g$g$. Berechne P'$P^{\prime }$.

\vec P' = \vec X_n(-1) = \left(\!\begin{smallmatrix}5\\11/5\\-3/5\end{smallmatrix}\!\right)\!;${\overrightarrow{P}}^{\prime }={\overrightarrow{X}}_n\left(-1\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 11∕5\\ -3∕5\end{array}\right);$

0.0.1.3 ↑ Geometrie-Buch Seite 230, Aufgabe 10

g{:}\, \vec X = \mu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad h{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}5\\5\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad P(1,2,3);$g:\overrightarrow{X}=\mu \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right);h:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -1\end{array}\right);P\left(1,2,3\right);$

a)

g$g$ an P$P$ gespiegelt ergibt g'$g^{\prime }$. Gib eine Gleichung von g'$g^{\prime }$ an.

g'{:}\, \vec X = \vec X_g + 2 \overrightarrow{X_g P} = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\4\\6\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\-1\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!;$g^{\prime }:\overrightarrow{X}={\overrightarrow{X}}_g+2\overrightarrow{X_{g}P}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 6\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -1\end{array}\right);$

b)

P$P$ an g$g$ gespiegelt ergibt P'$P^{\prime }$. Berechne P'$P^{\prime }$.

\left|\overrightarrow{P X_g}\right|^2 = 3 \mu^2 - 12 \mu + 14;${\left|\overrightarrow{P{X}_g}\right|}^2=3{\mu }^2-12\mu +14;$

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left|\overrightarrow{P X_g}\right|^2 = 6 \mu - 12 \stackrel{!}{=} 0;$\frac{\text{d}}{\text{d}\mu }{\left|\overrightarrow{P{X}_g}\right|}^2=6\mu -12\stackrel{!}{=}0;$ ⇔ \mu = 2;$\mu =2;$

\vec P' = \vec P + 2 \overrightarrow{P X_g(2)} = \left(\!\begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;${\overrightarrow{P}}^{\prime }=\overrightarrow{P}+2\overrightarrow{P{X}_g\left(2\right)}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right);$

c)

h$h$ an g$g$ gespiegelt ergibt g'$g^{\prime }$. Gib eine Gleichung von h'$h^{\prime }$ an.

h'{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\3\end{smallmatrix}\!\right) + \sigma \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\7\end{smallmatrix}\!\right)\!;$h^{\prime }:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+\sigma \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 7\end{array}\right);$

Möglicher Ansatz: Zwei beliebige feste Punkte spiegeln und dann eine Gerade durch die Bildpunkte legen. P$P$ hat man schon in Aufgabe b) an g$g$ gespiegelt, also müsste man nur noch einen zweiten Punkt spiegeln.

"so lange gelacht und doch ist es Realität..."

"der Mensch hat doch drei Hände"