«K12/K13» 49. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 49. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Beweis der Unabhängigkeit von A$A$ und \overline{B}$\overline{B}$ unter der Voraussetzung der Unabhängigkeit von A$A$ und B$B$

Voraussetzung: P(A \cap B) = P(A) P(B) = P(A) P_A(B);$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)=P\left(A\right)P_A\left(B\right);$ ⇒ P_A(B) = P(B);$P_A\left(B\right)=P\left(B\right);$

Vermutung: P(A \cap \overline{B}) = P(A) P(\overline{B}) = P(A) \left(1 - P(B)\right);$P\left(A\cap \overline{B}\right)=P\left(A\right)P\left(\overline{B}\right)=P\left(A\right)\left(1-P\left(B\right)\right);$

Beweis: P(A \cap \overline{B}) = P(A) P_A(\overline{B}) = P(A) \left(1 - P_A(B)\right) = P(A) \left(1 - P(B)\right);$P\left(A\cap \overline{B}\right)=P\left(A\right)P_A\left(\overline{B}\right)=P\left(A\right)\left(1-P_A\left(B\right)\right)=P\left(A\right)\left(1-P\left(B\right)\right);$

0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 146, Aufgabe 6

A$A$ und B$B$ seien zwei unabhängige Ereignisse P(A) = \frac{3}{4}$P\left(A\right)=\frac{3}{4}$, P(B) = \frac{2}{3}$P\left(B\right)=\frac{2}{3}$. Man berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse, die durch folgende Aussagen beschrieben werden:

a)

"Keines der beiden Ereignisse tritt ein"

P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) P(\overline{B}) = \frac{1}{12};$P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right)P\left(\overline{B}\right)=\frac{1}{12};$

b)

"Genau eines der beiden Ereignisse tritt ein"

P\!\left[\left(A \cap \overline{B}\right) \cup \left(\overline{A} \cap B\right)\right] = P(A) P(\overline{B}) + P(\overline{A}) P(B) = \frac{5}{12};$P\left[\left(A\cap \overline{B}\right)\cup \left(\overline{A}\cap B\right)\right]=P\left(A\right)P\left(\overline{B}\right)+P\left(\overline{A}\right)P\left(B\right)=\frac{5}{12};$

c)

"Beide Ereignisse treten ein"

P(A \cap B) = P(A) P(B) = \frac{1}{2};$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)=\frac{1}{2};$

d)

"Mindestens eines von beiden Ereignissen tritt ein"

P\!\left[\left(A \cap \overline{B}\right) \cup \left(\overline{A} \cap B\right)\right] + P(A \cap B) - P(A \cap B) = \frac{5}{12};$P\left[\left(A\cap \overline{B}\right)\cup \left(\overline{A}\cap B\right)\right]+P\left(A\cap B\right)-P\left(A\cap B\right)=\frac{5}{12};$ (XXX: \frac{11}{12}$\frac{11}{12}$?)

e)

"Höchstens eines von beiden Ereignissen tritt ein"

P(\overline{A} \cap \overline{B}) + P\!\left[\left(A \cap \overline{B}\right) \cup \left(\overline{A} \cap B\right)\right] = P(\overline{A}) P(\overline{B}) + \ldots = \frac{1}{2};$P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)+P\left[\left(A\cap \overline{B}\right)\cup \left(\overline{A}\cap B\right)\right]=P\left(\overline{A}\right)P\left(\overline{B}\right)+\dots =\frac{1}{2};$

0.0.1.3 ↑ Stochastik-Buch Seite 147, Aufgabe 9

Sei \Omega = \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$\Omega =\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$ der Ergebnisraum des Laplace-Experiments "Werfen eines Würfels". Es sei

• A$A$: "Augenzahl größer 4$4$"

• B$B$: "Augenzahl gerade"

• C$C$: "Augenzahl kleinergleich 3$3$"

• D$D$: "Augenzahl größergleich 4$4$"

• E$E$: "Augenzahl kleinergleich 5$5$"

• F$F$: "Augenzahl kleinergleich 4$4$"

Zeigen Sie:

a)

A$A$ und B$B$ sind vereinbar und unabhängig.

A = \left\{ 5, 6 \right\}\!; \quad B = \left\{ 2,4,6 \right\}\!;$A=\left\{5,6\right\};B=\left\{2,4,6\right\};$

A \cap B = \left\{ 6 \right\} \neq \varnothing;$A\cap B=\left\{6\right\}\ne \varnothing ;$

P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{2} = P(B);$P_A\left(B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{1}{2}=P\left(B\right);$

b)

C$C$ und D$D$ sind unvereinbar und abhängig.

C = \left\{ 1,2,3 \right\}\!; \quad D = \left\{ 4,5,6 \right\}\!;$C=\left\{1,2,3\right\};D=\left\{4,5,6\right\};$

C \cap D = \varnothing;$C\cap D=\varnothing ;$

P_C(D) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)} = 0 \neq P(D);$P_C\left(D\right)=\frac{P\left(C\cap D\right)}{P\left(D\right)}=0\ne P\left(D\right);$

c)

E$E$ und F$F$ sind vereinbar und abhängig.

E = \left\{ 1,2,3,4,5 \right\}\!; \quad F = \left\{ 1,2,3,4 \right\}\!;$E=\left\{1,2,3,4,5\right\};F=\left\{1,2,3,4\right\};$

E \cap F = \left\{ 1,2,3,4 \right\} \neq \varnothing;$E\cap F=\left\{1,2,3,4\right\}\ne \varnothing ;$

P_E(F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = 1 \neq P(F);$P_E\left(F\right)=\frac{P\left(E\cap F\right)}{P\left(F\right)}=1\ne P\left(F\right);$