«K12/K13» 66. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 66. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 190, Aufgabe 2

Gegeben sind die Ebenen und Geraden:

E{:}\, x_1 - 2x_2 + x_3 - 1 = 0; \quad F{:}\, 2x_1 - x_2 - x_3 - 8 = 0;$E:x_1-2x_2+x_3-1=0;F:2x_1-x_2-x_3-8=0;$

Bestimme von jeder Gerade ihre Lage zu E$E$ und F$F$.

Berechne gegebenenfalls den Schnittpunkt.

Umrechnung der Koordinatengleichungen von E$E$ und F$F$ in Parametergleichungen:

E{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad F{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\-9\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}0\\-1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;$E:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right);F:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right);$

a)

a{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\4\\6\end{smallmatrix}\!\right) + \alpha \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\3\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;$a:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 6\end{array}\right)+\alpha \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 4\end{array}\right);$

• D = \begin{vmatrix}2&-1&1\\1&0&-3\\0&1&-4\end{vmatrix} = 3;$D=\left|\begin{array}{ccc}\hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -3\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -4\hfill \end{array}\right|=3;$

  D_3 = \begin{vmatrix}2&-1&-1\\1&0&4\\0&1&6\end{vmatrix} = -3;$D_3=\left|\begin{array}{ccc}\hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 6\hfill \end{array}\right|=-3;$

  \alpha = \frac{D_3}{D} = -1;$\alpha =\frac{D_3}{D}=-1;$ ⇔ a \cap E = \left\{ S \right\}$a\cap E=\left\{S\right\}$ mit \vec S = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{S}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right);$

• D = \begin{vmatrix}1&0&1\\2&-1&-3\\0&1&-4\end{vmatrix} = 9;$D=\left|\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill -3\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -4\hfill \end{array}\right|=9;$

  D_3 = \begin{vmatrix}1&0&0\\2&-1&12\\0&1&6\end{vmatrix} = -18;$D_3=\left|\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 12\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 6\hfill \end{array}\right|=-18;$

  \alpha = \frac{D_3}{D} = -2;$\alpha =\frac{D_3}{D}=-2;$ ⇔ a \cap F = \left\{ S \right\}$a\cap F=\left\{S\right\}$ mit \vec S = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\-2\\-2\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{S}=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -2\end{array}\right);$

b)

b{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\-1\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \beta \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;$b:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\end{array}\right)+\beta \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right);$

• D = \begin{vmatrix}2&-1&-1\\1&0&-2\\0&1&0\end{vmatrix} = 3;$D=\left|\begin{array}{ccc}\hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -2\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right|=3;$

  D_3 = \begin{vmatrix}2&-1&1\\1&0&-1\\0&1&0\end{vmatrix} = 3;$D_3=\left|\begin{array}{ccc}\hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right|=3;$

  \beta = \frac{D_3}{D} = 1;$\beta =\frac{D_3}{D}=1;$ ⇔ b \cap E = \left\{ S \right\}$b\cap E=\left\{S\right\}$ mit \vec S = \left(\!\begin{smallmatrix}3\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{S}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 0\end{array}\right);$

• D = \begin{vmatrix}1&0&-1\\2&-1&-2\\0&1&0\end{vmatrix} = 0;$D=\left|\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill -2\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right|=0;$

  Verbindungsvektor der Aufpunkte: \vec d = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\7\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}2\\ 7\\ 0\end{array}\right);$

  \begin{vmatrix}1&0&2\\2&-1&7\\0&1&0\end{vmatrix} = -3 \neq 0;$\left|\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 7\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right|=-3\ne 0;$ ⇔ b \cap F = \varnothing;$b\cap F=\varnothing ;$

c)

c{:}\, \vec X = \gamma \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;$c:\overrightarrow{X}=\gamma \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right);$

• D = \begin{vmatrix}2&-1&-1\\1&0&-1\\0&1&-1\end{vmatrix} = 0;$D=\left|\begin{array}{ccc}\hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -1\hfill \end{array}\right|=0;$

  Verbindungsvektor der Aufpunkte: \vec d = \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right);$

  \begin{vmatrix}2&-1&-1\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix}2&-1\\1&0\end{vmatrix} = -1 \neq 0;$\left|\begin{array}{ccc}\hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cc}\hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right|=-1\ne 0;$ ⇔ c \cap E = \varnothing;$c\cap E=\varnothing ;$

• D = \begin{vmatrix}1&0&-1\\2&-1&-1\\0&1&-1\end{vmatrix} = 0;$D=\left|\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -1\hfill \end{array}\right|=0;$

  Verbindungsvektor der Aufpunkte: \vec d = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\8\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 0\end{array}\right);$

  \begin{vmatrix}1&0&0\\2&-1&8\\0&1&8\end{vmatrix} = -16 \neq 0;$\left|\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 8\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 8\hfill \end{array}\right|=-16\ne 0;$ ⇔ c \cap F = \varnothing;$c\cap F=\varnothing ;$

d)

d{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}4\\2\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \delta \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;$d:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 1\end{array}\right)+\delta \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right);$

• D = \begin{vmatrix}2&-1&-1\\1&0&-1\\0&1&-1\end{vmatrix} = 0;$D=\left|\begin{array}{ccc}\hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -1\hfill \end{array}\right|=0;$

  Verbindungsvektor der Aufpunkte: \vec d = \left(\!\begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right);$

  \begin{vmatrix}2&-1&3\\1&0&2\\0&1&1\end{vmatrix} = 0;$\left|\begin{array}{ccc}\hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right|=0;$ ⇔ d \cap E = d;$d\cap E=d;$

• D = \begin{vmatrix}1&0&-1\\2&-1&-1\\0&1&-1\end{vmatrix} = 0;$D=\left|\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -1\hfill \end{array}\right|=0;$

  Verbindungsvektor der Aufpunkte: \vec d = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\10\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 1\end{array}\right);$

  \begin{vmatrix}1&0&0\\2&-1&10\\0&1&1\end{vmatrix} = -9 \neq 0;$\left|\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 10\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right|=-9\ne 0;$ ⇔ d \cap F = \varnothing;$d\cap F=\varnothing ;$

e)

e{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}5\\2\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \varepsilon \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;$e:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 0\end{array}\right)+\varepsilon \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right);$

• D = \begin{vmatrix}2&-1&-1\\1&0&-1\\0&1&-1\end{vmatrix} = 0;$D=\left|\begin{array}{ccc}\hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -1\hfill \end{array}\right|=0;$

  Verbindungsvektor der Aufpunkte: \vec d = \left(\!\begin{smallmatrix}4\\2\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 0\end{array}\right);$

  \begin{vmatrix}2&-1&4\\1&0&2\\0&1&0\end{vmatrix} = 0;$\left|\begin{array}{ccc}\hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right|=0;$ ⇔ e \cap E = e;$e\cap E=e;$

• D = \begin{vmatrix}1&0&-1\\2&-1&-1\\0&1&-1\end{vmatrix} = 0;$D=\left|\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -1\hfill \end{array}\right|=0;$

  Verbindungsvektor der Aufpunkte: \vec d = \left(\!\begin{smallmatrix}5\\10\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}5\\ 10\\ 0\end{array}\right);$

  \begin{vmatrix}1&0&5\\2&-1&10\\0&1&0\end{vmatrix} = 0;$\left|\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 5\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 10\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right|=0;$ ⇔ e \cap F = e = E \cap F;$e\cap F=e=E\cap F;$

f)

f{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}4\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \varphi \left(\!\begin{smallmatrix}1\\0\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;$f:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\varphi \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right);$

• D = \begin{vmatrix}2&-1&-1\\1&0&0\\0&1&-2\end{vmatrix} = -3;$D=\left|\begin{array}{ccc}\hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -2\hfill \end{array}\right|=-3;$

  D_3 = \begin{vmatrix}2&-1&3\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix} = 3;$D_3=\left|\begin{array}{ccc}\hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right|=3;$

  \varphi = \frac{D_3}{D} -1;$\varphi =\frac{D_3}{D}-1;$ ⇔ f \cap E = \left\{ S \right\}$f\cap E=\left\{S\right\}$ mit \vec S = \left(\!\begin{smallmatrix}5\\0\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{S}=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 2\end{array}\right);$

• D = \begin{vmatrix}1&0&-1\\2&-1&0\\0&1&2\end{vmatrix} = 0;$D=\left|\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill \end{array}\right|=0;$

  Verbindungsvektor der Aufpunkte: \vec d = \left(\!\begin{smallmatrix}4\\8\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 0\end{array}\right);$

  \begin{vmatrix}1&0&4\\2&-1&8\\0&1&0\end{vmatrix} = 0;$\left|\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 8\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right|=0;$ ⇔ f \cap F = f;$f\cap F=f;$

0.0.1.2 ↑ Geometrie-Buch Seite 190, Aufgabe 5

Die Würfelecken A$A$, C$C$, F$F$ und H$H$ sind die Ecken eines regelmäßigen Tetraeders. (Siehe Aufgabe 17 auf Seite 177.)

a)

In welchem Punkt schneidet die Raumdiagonale HB$HB$ die Ebene ACF$ACF$?

A(-4,-4,0); \quad B(0,-4,0); \quad C(0,0,0); \quad F(0,-4,4); \quad E(-4,-4,4); \quad H(-4,0,4); \quad G(0,0,4);$A\left(-4,-4,0\right);B\left(0,-4,0\right);C\left(0,0,0\right);F\left(0,-4,4\right);E\left(-4,-4,4\right);H\left(-4,0,4\right);G\left(0,0,4\right);$

HB{:}\, \vec X = \vec H + \alpha \overrightarrow{HB};$HB:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{H}+\alpha \overrightarrow{HB};$

ACF{:}\, \vec X = \vec C + \lambda \overrightarrow{CA} + \mu \overrightarrow{CF};$ACF:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{C}+\lambda \overrightarrow{CA}+\mu \overrightarrow{CF};$

\lambda \overrightarrow{CA} + \mu \overrightarrow{CF} - \alpha \overrightarrow{HB} = \vec H - \vec C;$\lambda \overrightarrow{CA}+\mu \overrightarrow{CF}-\alpha \overrightarrow{HB}=\overrightarrow{H}-\overrightarrow{C};$

D = \begin{vmatrix}-4&0&-4\\-4&-4&4\\0&4&4\end{vmatrix} = 192 \neq 0;$D=\left|\begin{array}{ccc}\hfill -4\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -4\hfill \\ \hfill -4\hfill & \hfill -4\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 4\hfill \end{array}\right|=192\ne 0;$

D_3 = \begin{vmatrix}-4&0&-4\\-4&-4&0\\0&4&4\end{vmatrix} = 128;$D_3=\left|\begin{array}{ccc}\hfill -4\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -4\hfill \\ \hfill -4\hfill & \hfill -4\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 4\hfill \end{array}\right|=128;$ ⇔ \alpha = \frac{D_3}{D} = \frac{2}{3};$\alpha =\frac{D_3}{D}=\frac{2}{3};$

⇔ HB \cap ACF = \left\{ S \right\}$HB\cap ACF=\left\{S\right\}$ mit \vec S = \left(\!\begin{smallmatrix}-\frac{4}{3}\\-\frac{8}{3}\\\frac{4}{3}\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{S}=\left(\begin{array}{c}-\frac{4}{3}\\ -\frac{8}{3}\\ \frac{4}{3}\end{array}\right);$

b)

In welchen Punkten schneidet die Gerade durch die Kantenmitten von \left[GC\right]$\left[GC\right]$ und \left[AE\right]$\left[AE\right]$ das Tetraeder?

[XXX]