«K12/K13» 80. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 80. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Analysis-Buch Seite 113, Aufgabe 38

\mathrm{f}_t(x) = \left(e^x - t\right)^2; \quad D_{\mathrm{f}_t} = \mathds{R}; \quad t > 0;${\text{f}}_t\left(x\right)={\left(e^x-t\right)}^2;D_{{\text{f}}_t}=\mathbb{ℝ};t>0;$

a)

Berechne abhängig von t$t$: Schnittpunkte des Graphen und der Koordinatenachsen, Asymptoten, Tief- und Wendepunkte.

• \mathrm{f}_t(0) = \left(1 - t\right)^2; \quad S_y(0, \left(1-t\right)^2);${\text{f}}_t\left(0\right)={\left(1-t\right)}^2;S_y\left(0,{\left(1-t\right)}^2\right);$

  \mathrm{f}_t(x) = \left(e^x - t\right)^2 = 0;${\text{f}}_t\left(x\right)={\left(e^x-t\right)}^2=0;$ ⇒ e^x = t;$e^x=t;$ ⇒ x = \ln t; \quad S_x(\ln t, 0);$x=lnt;S_x\left(lnt,0\right);$

• \lim\limits_{x \to \infty} \mathrm{f}_t(x) = \infty;$\underset{x\to \infty }{lim}{\text{f}}_t\left(x\right)=\infty ;$

  \lim\limits_{x \to -\infty} \mathrm{f}_t(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} e^{2x} - 2 e^x t + t^2 = 0 - 0 + t^2 = t^2;$\underset{x\to -\infty }{lim}{\text{f}}_t\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}{e}^{2x}-2e^{x}t+t^2=0-0+t^2=t^2;$

  Asymptotengleichung: y = t^2;$y=t^2;$

• \mathrm{f}_t'(x) = 2 \left(e^x - t\right) \cdot e^x;${\text{f}}_t^{\prime }\left(x\right)=2\left(e^x-t\right)\cdot e^x;$

  •            ln t

  •            |

  •  ----------+---------->

  •  ---------------------> e^x

  •  - - - - - *----------> e^x - t

  •       -    0    +

  P_{\text{TIP}}(\ln t, 0);$P_{\text{TIP}}\left(lnt,0\right);$

  \mathrm{f}_t''(x) = 2 e^x \left(e^x - t\right) + 2 e^x e^x = 2 e^x \left(e^x - t + e^x\right) = 0;${\text{f}}_t^{\prime \prime }\left(x\right)=2e^x\left(e^x-t\right)+2e^x{e}^x=2e^x\left(e^x-t+e^x\right)=0;$ ⇔

  e^x - t + e^x = 2 e^x - t = 0;$e^x-t+e^x=2e^x-t=0;$ ⇔ x = \ln \frac{t}{2};$x=ln\frac{t}{2};$

  P_{\text{WEP}}\!\left(\ln \frac{t}{2}, \frac{t^2}{4}\right);$P_{\text{WEP}}\left(ln\frac{t}{2},\frac{t^2}{4}\right);$

b)

Zeichne G_{\mathrm{f}_2}$G_{{\text{f}}_2}$ im Bereich \left[-4, \frac{3}{2}\right]$\left[-4,\frac{3}{2}\right]$.

c)

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts S$S$ von G_{\mathrm{f}_t}$G_{{\text{f}}_t}$ und der zugehörigen Asymptote.

Auf welcher Kurve liegen diese Schnittpunkte?

t^2 = \mathrm{f}_t(x) = \left(e^x - t\right)^2;$t^2={\text{f}}_t\left(x\right)={\left(e^x-t\right)}^2;$

\pm t = e^x - t;$\pm t=e^x-t;$

\pm t + t = e^x;$\pm t+t=e^x;$

Zwei Fälle:

• 0 = e^x;$0=e^x;$ → keine Lösung

• 2t = e^x;$2t=e^x;$ ⇔ x = \ln 2t; \quad S(\ln 2t, t^2);$x=ln2t;S\left(ln2t,t^2\right);$

\lambda := \ln 2t;$\lambda :=ln2t;$ ⇔ e^\lambda = 2t;$e^{\lambda }=2t;$ ⇔ \frac{1}{4} e^{2 \lambda} = t^2;$\frac{1}{4}{e}^{2\lambda }=t^2;$

Kurve der Schnittpunkte: \mathrm{k}(\lambda) = \frac{1}{4} e^{2 \lambda};$\text{k}\left(\lambda \right)=\frac{1}{4}{e}^{2\lambda };$

0.0.1.2 ↑ Analysis-Buch Seite 114, Aufgabe 54

Harte \beta$\beta$-Strahlen werden zu 80 \,\%$80\%$ in einer 1 \,\mathrm{mm}$1\text{mm}$ dicken Aluminiumschicht absorbiert.

a)

Bei welcher Schichtdicke werden 50 \,\%$50\%$ absorbiert?

N(d) = N_0 \cdot \left(20 \,\%\right)^{d / 1 \,\mathrm{mm}};$N\left(d\right)=N_0\cdot {\left(20\%\right)}^{d∕1\text{mm}};$

N(d_{50 \,\%}) = N_0 \cdot \left(20 \,\%\right)^{d_{50 \,\%} / 1 \,\mathrm{mm}} = 50 \,\% \cdot N_0;$N\left(d_{50\%}\right)=N_0\cdot {\left(20\%\right)}^{d_{50\%}∕1\text{mm}}=50\%\cdot N_0;$ ⇔

d_{50 \,\%} / 1 \,\mathrm{mm} = \log_{20 \,\%} 50 \,\%;$d_{50\%}∕1\text{mm}={log}_{20\%}50\%;$ ⇔ d_{50 \,\%} = 1 \,\mathrm{mm} \cdot \log_{20 \,\%} 50 \,\% \approx 0{,}4 \,\mathrm{mm};$d_{50\%}=1\text{mm}\cdot {log}_{20\%}50\%\approx 0,4\text{mm};$

b)

Bei welcher Schichtdicke dringt noch 1 \,\%$1\%$ hindurch?

N(d_{1 \,\%}) = N_0 \cdot \left(20 \,\%\right)^{d_{1 \,\%} / 1 \,\mathrm{mm}} = 1 \,\% \cdot N_0;$N\left(d_{1\%}\right)=N_0\cdot {\left(20\%\right)}^{d_{1\%}∕1\text{mm}}=1\%\cdot N_0;$ ⇔

d_{1 \,\%} / 1 \,\mathrm{mm} = \log_{20 \,\%} 1 \,\%;$d_{1\%}∕1\text{mm}={log}_{20\%}1\%;$ ⇔ d_{1 \,\%} = 1 \,\mathrm{mm} \cdot \log_{20 \,\%} 1 \,\% \approx 1{,}4 \,\mathrm{mm};$d_{1\%}=1\text{mm}\cdot {log}_{20\%}1\%\approx 1,4\text{mm};$

c)

Welcher Anteil der Strahlung wird von einer 0{,}5 \,\mathrm{mm}$0,5\text{mm}$ starken Alufolie verschluckt?

1 - N(0{,}5 \,\mathrm{mm}) / N_0 = 1 - \left(20 \,\%\right)^{0{,}5 \,\mathrm{mm} / 1 \,\mathrm{mm}} \approx 55 \,\%;$1-N\left(0,5\text{mm}\right)∕N_0=1-{\left(20\%\right)}^{0,5\text{mm}∕1\text{mm}}\approx 55\%;$