«K12/K13» 145. Hausaufgabe

- - 0.0.1 145. Hausaufgabe
    - 0.0.1.1 Exzerpt von B. S. 500f.: Gesetz des radioaktiven Zerfalls

0.0.1 ↑ 145. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Exzerpt von B. S. 500f.: Gesetz des radioaktiven Zerfalls

0.0.1.1.1 ↑ Stochastische Herleitung des Zerfallsgesetzes

Die gemessene Impulsrate von radioaktiven Präparaten nimmt mit der Zeit exponentiell ab. Dieses Verhalten kann man stochastisch wie folgt modellieren:

Man denkt sich das Präparat aus Teilchen bestehend. Pro Zeiteinheit \Delta t $Δ t$ zerfällt jedes dieser Teilchen mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit \left(1-p\right) $(1 - p)$ . Damit kann man einen Term für N(t) $N (t)$ , also für die Anzahl der nicht-zerfallenen Teilchen nach Verstreichen der Zeit t $t$ , herleiten:

N(0 \,\mathrm{s}) = N_0; $N (0 s) = N_{0};$
N(\Delta t) = N_0 \cdot p; $N (Δ t) = N_{0} \cdot p;$ (Erwartungswert der Trefferanzahl bei einer BERNOULLIkette der Länge N_0 $N_{0}$ und der Trefferwahrscheinlichkeit p $p$ )
N(2 \Delta t) = \left(N_0 \cdot p\right) \cdot p = N_0 p^2; $N (2 Δ t) = (N_{0} \cdot p) \cdot p = N_{0} p^{2};$
N(3 \Delta t) = \left(N_0 \cdot p^2\right) \cdot p = N_0 p^3; $N (3 Δ t) = (N_{0} \cdot p^{2}) \cdot p = N_{0} p^{3};$

\vdots $⋮$
N(k \Delta t) = N_0 p^k; $N (k Δ t) = N_{0} p^{k};$

Die Formel der letzten Zeile kann man umformen zu N(t) = N_0 p^{t/\Delta t} $N (t) = N_{0} p^{t ∕ Δ t}$ .

0.0.1.1.2 ↑ Charakterisierungsmöglichkeiten

Mit einem Zerfallsgesetz N(t) = N_0 p^{t/\Delta t} $N (t) = N_{0} p^{t ∕ Δ t}$ mit entsprechendem Parameter p/\Delta t $p ∕ Δ t$ kann jeder radioaktive Zerfall (von spontaner Kernfission abgesehen) treffend beschrieben werden.

0.0.1.1.2.1 ↑ Halbwertszeit

Oft ist es praktischer, nicht p $p$ und \Delta t $Δ t$ als Basis zu verwenden, sondern andere charakteristische Größen. So kann man beispielsweise die Überlebenswahrscheinlichkeit p $p$ pro Zeiteinheit \Delta t $Δ t$ in eine Halbwertszeit \tau $τ$ überführen:

N(t) = N_0 p^{t/\Delta t} \stackrel{!}{=} N_0 2^{-t/\tau}; $N (t) = N_{0} p^{t ∕ Δ t} \overset{!}{=} N_{0} 2^{- t ∕ τ};$ ⇔

p^{t/\Delta t} = 2^{-t/\tau}; $p^{t ∕ Δ t} = 2^{- t ∕ τ};$ ⇔

\frac{t}{\Delta t} \operatorname{ld} p = -\frac{t}{\tau}; $\frac{t}{Δ t} ld p = - \frac{t}{τ};$ ⇔

\tau = -\underbrace{\frac{1}{\operatorname{ld} p}}_{< 0} \Delta t; $τ = - \underset{< 0}{\underset{︸}{\frac{1}{ld p}}} Δ t;$ (\tau > 0 $τ > 0$ )

0.0.1.1.2.2 ↑ 1/e $1 ∕ e$ -wertszeit

Allgemeiner kann man nicht nur die Halbwertszeit zur Charakterisierung nutzen, sondern auch Zeiten zu anderen Basen. Besonders beliebt ist dabei die 1/e $1 ∕ e$ -wertszeit:

N(t) = N_0 p^{t/\Delta t} \stackrel{!}{=} N_0 e^{-t/\kappa}; $N (t) = N_{0} p^{t ∕ Δ t} \overset{!}{=} N_{0} e^{- t ∕ κ};$ ⇔

\kappa = -\underbrace{\frac{1}{\ln p}}_{< 0} \Delta t; $κ = - \underset{< 0}{\underset{︸}{\frac{1}{ln p}}} Δ t;$ (\kappa > 0 $κ > 0$ )

0.0.1.1.2.3 ↑ Zerfallskonstante

Alternatv kann man auch den Kehrwert \lambda $λ$ der 1/e $1 ∕ e$ -wertszeit \kappa $κ$ , \lambda = \frac{1}{\kappa} $λ = \frac{1}{κ}$ , zur Beschreibung nutzen:

N(t) = N_0 e^{-\lambda t}; $N (t) = N_{0} e^{- λ t};$

0.0.1.1.3 ↑ Aktivität

Über Messungen direkt zugänglich ist nicht die Anzahl der nicht-zerfallenen Teilchen N(t) $N (t)$ , sondern lediglich die Impulsrate n(t) $n (t)$ , also die Anzahl radioaktiver Zerfälle pro Zeiteinheit.

Da mit einem detektierbaren Abstrahlereigniss immer auch genau ein Zerfall verknüpft ist, gibt n(t) $n (t)$ einfach die (negative) Änderung der Anzahl nicht-zerfallener Teilchen, N(t) $N (t)$ , an:

n(t) = -A(t) = -\dot N(t) = -N_0 e^{-t/\kappa} \cdot \left(-\frac{1}{\kappa}\right) = \frac{N_0}{\kappa} e^{-t/\kappa} = \frac{1}{\kappa} N(t); $n (t) = - A (t) = - Ṅ (t) = - N_{0} e^{- t ∕ κ} \cdot (- \frac{1}{κ}) = \frac{N_{0}}{κ} e^{- t ∕ κ} = \frac{1}{κ} N (t);$

Analog ist die Situation bei der Entladung eines Kondensators: Direkt messbar ist nur der Entladestrom I(t) = \dot Q(t) $I (t) = \dot{Q} (t)$ , nicht aber die Ladung Q(t) $Q (t)$ des Kondensators.

[XXX: Impulsrate ist die Rate, die bspw. in einem Zählrohr gemessen wird – also nicht die gesamte Anzahl radioaktiver Zerfälle, sondern nur der Anteil, der in die Richtung des Zählrohrs geht (Hüllkugel etc.)]

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