«K12/K13» 16. Hausaufgabe

- - 0.0.1 16. Hausaufgabe

0.0.1 ↑ 16. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Buch Seite 187, Aufgabe 5

Ein Elektron werde mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v = 3000 \,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}} $v = 3000 \frac{km}{s}$ in Richtung eines homogenen elektrischen Feldes mit der Feldstärke \mathcal{E} = 1 \,\frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{C}} $ℰ = 1 \frac{kN}{C}$ geschossen. Wie weit bewegt sich das Elektron, bevor es vollständig abgebremst ist und ruht (m_{\text{e}} = 9{,}1 \cdot 10^{-31} \,\mathrm{kg} $m_{e} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} kg$ , q_{\text{e}} = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \,\mathrm{C} $q_{e} = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ )?

\frac{1}{2}m_{\text{e}}v^2 = q{\text{e}} \mathcal{E} s; \Rightarrow s = \frac{m_{\text{e}} v^2}{q_{\text{e}} \mathcal{E}} = 5 \,\mathrm{cm}; $\frac{1}{2} m_{e} v^{2} = q e ℰ s; \Rightarrow s = \frac{m_{e} v^{2}}{q_{e} ℰ} = 5 cm;$

0.0.1.2 ↑ Buch Seite 201, Aufgabe 1

Welche Energie speichert ein Plattenkondensator (A = 314 \,\mathrm{cm}^2 $A = 314 {cm}^{2}$ , d = 0{,}5 \,\mathrm{mm} $d = 0, 5 mm$ , Diaelektrikum mit \varepsilon_{\text{r}} = 7 $ɛ_{r} = 7$ ) bei einer Sapnnung von U = 220 \,\mathrm{V} $U = 220 V$ ?

W = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_{\text{r}} \varepsilon_0 \frac{A}{d} U^2 = 1 \cdot 10^{-5} \,\mathrm{J}; $W = \frac{1}{2} C U^{2} = \frac{1}{2} ɛ_{r} ɛ_{0} \frac{A}{d} U^{2} = 1 \cdot 1 0^{- 5} J;$

0.0.1.3 ↑ Buch Seite 201, Aufgabe 2

Zeigen Sie, dass im radialsymmetrischen Feld die Energiedichte mit der 4. Potenz des Abstandes abnimmt.

\varrho_{\text{el}} = \frac{1}{2} \varepsilon_{\text{r}} \varepsilon_0 \mathcal{E}^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_{\text{r}} \varepsilon_0 \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}\right)^2 = \frac{\varepsilon_{\text{r}} \varepsilon_0 Q^2}{2 \cdot 16\pi^2\varepsilon_0^2 r^4} = \frac{\varepsilon_{\text{r}} Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0 r^4}; $ϱ_{el} = \frac{1}{2} ɛ_{r} ɛ_{0} ℰ^{2} = \frac{1}{2} ɛ_{r} ɛ_{0} {(\frac{1}{4 π ɛ_{0}} \frac{Q}{r^{2}})}^{2} = \frac{ɛ_{r} ɛ_{0} Q^{2}}{2 \cdot 16 π^{2} ɛ_{0}^{2} r^{4}} = \frac{ɛ_{r} Q^{2}}{32 π^{2} ɛ_{0} r^{4}};$

⇒ \varrho_{\text{el}} \sim \frac{1}{r^4}; $ϱ_{el} \sim \frac{1}{r^{4}};$

0.0.1.4 ↑ Buch Seite 201, Aufgabe 3

Welche Energiedichte kann ein elektrisches Feld in feuchter Luft höchstens haben, wenn es bei einer Feldstärke von \mathcal{E} = 2 \,\frac{\mathrm{MV}}{\mathrm{m}} $ℰ = 2 \frac{MV}{m}$ zum Funkenüberschlag kommt? Berechnen Sie die Spannung, die man unter dieser Voraussetzung an einen luftgefüllten Plattenkondensator mit einem Plattenabstand von d = 4 \,\mathrm{mm} $d = 4 mm$ höchstens legen kann.

\varrho_{\text{el},\text{max}} = \frac{1}{2}\varepsilon_{\text{r},\text{Luft}}\varepsilon_0\mathcal{E}^2 = 2 \cdot 10^1 \,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}^3}; $ϱ_{el, max} = \frac{1}{2} ɛ_{r, Luft} ɛ_{0} ℰ^{2} = 2 \cdot 1 0^{1} \frac{J}{m^{3}};$

\mathcal{E} = \frac{U}{d}; \Rightarrow U = \mathcal{E} d = 8 \,\mathrm{kV}; $ℰ = \frac{U}{d}; \Rightarrow U = ℰ d = 8 kV;$

0.0.1.5 ↑ Buch Seite 201, Aufgabe 4

Wie groß müsste die Plattenfläche eines luftgefüllten Plattenkondensators sein, der bei einem Plattenabstand von d = 1 \,\mathrm{mm} $d = 1 mm$ und einer Spannung von U_{\text{Kond.}} = 220 \,\mathrm{V} $U_{Kond.} = 220 V$ die gleiche Energie speichert wie eine Bat. von U_{\text{Bat.}} = 12 \,\mathrm{V} $U_{Bat.} = 12 V$ und Q_{\text{Bat.}} = 88 \,\mathrm{Ah} $Q_{Bat.} = 88 Ah$ ?

W_{\text{Kond.}} = W_{\text{Bat.}}; \Rightarrow \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \frac{A}{d} U_{\text{Kond.}}^2 = U_{\text{Bat.}} Q_{\text{Bat.}}; $W_{Kond.} = W_{Bat.}; \Rightarrow \frac{1}{2} C U^{2} = \frac{1}{2} ɛ_{0} \frac{A}{d} U_{Kond.}^{2} = U_{Bat.} Q_{Bat.};$

⇒ A = \dfrac{2 U_{\text{Bat.}} Q_{\text{Bat.}} d}{\varepsilon_0 U_{\text{Kond.}}^2} = 2 \cdot 10^{10} \,\mathrm{m}^3; $A = \frac{2 U_{Bat.} Q_{Bat.} d}{ɛ_{0} U_{Kond.}^{2}} = 2 \cdot 1 0^{10} m^{3};$

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