«K12/K13» 42. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 42. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Zusammenfassung der Seiten 240f.

Das Gravitationsgesetz beschreibt die Größe der Kraft, mit der sich zwei beliebige Massen m_1$m_1$ und m_2$m_2$ im Abstand r$r$ anziehen:

F_{\text{G}} = G \frac{m_1 m_2}{r^2};$F_{\text{G}}=G\frac{m_1{m}_2}{r^2};$

Ein ähnliches Gesetz gibt es für die Anziehungskraft (bzw. Abstoßungskraft) zwischen zwei Punktladungen:

F_{\text{el}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2};$F_{\text{el}}=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\frac{Q_1{Q}_2}{r^2};$

Nun ziehen sich auch Ströme an, bedingt durch die durch die Ströme erzeugten Magnetfelder. Zwei parallel gerichtete Ströme ziehen sich gegenseitig an, zwei entgegen gesetzte Ströme stoßen sich ab; dies kann durch Betrachtung der Lorentzkraft (Drei–Finger-Regel) der Magnetfelder der beiden Ströme (Rechte–Hand-Regel) nachvollzogen werden.

Die anziehende Kraft errechnet sich direkt aus der Definition der magnetischen Flussdichte \mathcal{B}$\mathcal{ℬ}$:

\mathcal{B} = \frac{F}{I l}; \Rightarrow F = \mathcal{B} I l;$\mathcal{ℬ}=\frac{F}{Il};\Rightarrow F=\mathcal{ℬ}Il;$

Die letzte verbleibende Unbekannte, \mathcal{B}$\mathcal{ℬ}$, errechnet sich wiederum durch Addition der einzelnen Flussdichten der Ströme; dabei muss man besonders auf die Vorzeichen aufpassen, da allgemein nur \mathcal{B}$\mathcal{ℬ}$ in Abhängigkeit von r$r$, der Entfernung, bekannt ist. Entfernungen sind nun leider immer positiv, was das Ansetzen von Gleichungen enorm erschwert.

Also:

F_{1 \to 2} = \mathcal{B}_1 I_2 l_2 = I_2 l_2 \cdot \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{I_1}{r} = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{I_1 I_2}{r} l_2;$F_{1\to 2}={\mathcal{ℬ}}_1{I}_2{l}_2=I_2{l}_2\cdot \frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{I_1}{r}=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{I_1{I}_2}{r}{l}_2;$

F_{2 \to 1} = \mathcal{B}_2 I_1 l_1 = I_1 l_1 \cdot \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{I_2}{r} = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{I_1 I_2}{r} l_1;$F_{2\to 1}={\mathcal{ℬ}}_2{I}_1{l}_1=I_1{l}_1\cdot \frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{I_2}{r}=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{I_1{I}_2}{r}{l}_1;$

(Analogie zu \mathcal{E}$\mathcal{ℰ}$-Feldern:

F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2} = Q_1 \mathcal{E}_2(r) = Q_1 \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q_2^2}{r^2};$F=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\frac{Q_1{Q}_2}{r^2}=Q_1{\mathcal{ℰ}}_2\left(r\right)=Q_1\cdot \frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\frac{Q_2^2}{r^2};$)

Frage: Wäre es nicht besser, kartesische Koordinaten oder Polarkoordinaten anstatt immer positiver Radien zu verwenden?

0.0.1.2 ↑ Buch Seite 241, Aufgabe 1

Zwei geradlinige lange Leiter verlaufen in einem Abstand von d = 10 \,\mathrm{cm}$d=10\text{cm}$ parallel zueinander. Sie werden in entgegengesetzter Richtung von den Strömen I_1 = 15 \,\mathrm{A}$I_1=15\text{A}$ und I_2 = 25 \,\mathrm{A}$I_2=25\text{A}$ durchflossen. Berechnen Sie die magnetische Feldstärke in einem Punkt in der von den Leitern aufgespannten Ebene, der

a)

von beiden Leitern gleich weit entfernt ist.

\mathcal{B} = \mathcal{B}_1(5 \,\mathrm{cm}) + \mathcal{B}_2(5 \,\mathrm{cm}) = \frac{\mu_0}{2 \pi} \left(\frac{I_1}{5 \,\mathrm{cm}} + \frac{I_2}{5 \,\mathrm{cm}}\right) \approx 2 \cdot 10^{-4} \,\mathrm{T};$\mathcal{ℬ}={\mathcal{ℬ}}_1\left(5\text{cm}\right)+{\mathcal{ℬ}}_2\left(5\text{cm}\right)=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\left(\frac{I_1}{5\text{cm}}+\frac{I_2}{5\text{cm}}\right)\approx 2\cdot 10^{-4}\text{T};$

b)

2 \,\mathrm{cm}$2\text{cm}$ von Leiter 1 und 8 \,\mathrm{cm}$8\text{cm}$ von Leiter 2 entfernt ist.

\mathcal{B} = \mathcal{B}_1(2 \,\mathrm{cm}) + \mathcal{B}_2(8 \,\mathrm{cm}) = \frac{\mu_0}{2 \pi} \left(\frac{I_1}{2 \,\mathrm{cm}} + \frac{I_2}{8 \,\mathrm{cm}}\right) \approx 2 \cdot 10^{-4} \,\mathrm{T};$\mathcal{ℬ}={\mathcal{ℬ}}_1\left(2\text{cm}\right)+{\mathcal{ℬ}}_2\left(8\text{cm}\right)=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\left(\frac{I_1}{2\text{cm}}+\frac{I_2}{8\text{cm}}\right)\approx 2\cdot 10^{-4}\text{T};$

c)

2 \,\mathrm{cm}$2\text{cm}$ von Leiter 1 und 12 \,\mathrm{cm}$12\text{cm}$ von Leiter 2 entfernt ist.

\mathcal{B} = \mathcal{B}_1(2 \,\mathrm{cm}) - \mathcal{B}_2(12 \,\mathrm{cm}) = \frac{\mu_0}{2 \pi} \left(\frac{I_1}{2 \,\mathrm{cm}} - \frac{I_2}{12 \,\mathrm{cm}}\right) \approx 1 \cdot 10^{-4} \,\mathrm{T};$\mathcal{ℬ}={\mathcal{ℬ}}_1\left(2\text{cm}\right)-{\mathcal{ℬ}}_2\left(12\text{cm}\right)=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\left(\frac{I_1}{2\text{cm}}-\frac{I_2}{12\text{cm}}\right)\approx 1\cdot 10^{-4}\text{T};$

d)

In welchen Punkten ist die magnetische Feldstärke null?

Problem: Rechnen mit (immer positiven) Radien "riskant", daher ist eine Fallunterscheidung notwendig.

• Fall: Punkt liegt links vor Leiter 1, Magnetfelder zeigen in entgegengesetzte Richtungen

  r_1(r) = r;$r_1\left(r\right)=r;$ (Sicht von Leiter 1)

  r_2(r) = d + r;$r_2\left(r\right)=d+r;$ (Sicht von Leiter 2)

  \mathcal{B}(r) = \frac{\mu_0}{2 \pi} \left(\frac{I_2}{d + r} - \frac{I_1}{r}\right) = 0 \,\mathrm{T};$\mathcal{ℬ}\left(r\right)=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\left(\frac{I_2}{d+r}-\frac{I_1}{r}\right)=0\text{T};$

  ⇒ I_2 r = I_1 d + I_1 r; \Rightarrow r = \frac{I_1 d}{I_2 - I_1} \approx 15 \,\mathrm{cm};$I_{2}r=I_{1}d+I_{1}r;\Rightarrow r=\frac{I_{1}d}{I_2-I_1}\approx 15\text{cm};$

• Fall: Punkt liegt zwischen den beiden Leitern, Magnetfelder zeigen in gleiche Richtung (damit kann \mathcal{B}$\mathcal{ℬ}$ sowieso nicht 0 \,\mathrm{T}$0\text{T}$ sein)

  r_1(r) = r;$r_1\left(r\right)=r;$ (Sicht von Leiter 1)

  r_2(r) = d - r;$r_2\left(r\right)=d-r;$ (Sicht von Leiter 2)

  r$r$ darf nicht größer als d$d$ werden (sonst "Hineinfallen" in dritten Fall).

  \mathcal{B}(r) = \frac{\mu_0}{2 \pi} \left(\frac{I_2}{d - r} + \frac{I_1}{r}\right) = 0 \,\mathrm{T};$\mathcal{ℬ}\left(r\right)=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\left(\frac{I_2}{d-r}+\frac{I_1}{r}\right)=0\text{T};$

  ⇒ I_2 r = -I_1 d + I_1 r; \Rightarrow r = \frac{-I_1 d}{I_2 - I_1} \approx -15 \,\mathrm{cm} < 0 \,\mathrm{cm};$I_{2}r=-I_{1}d+I_{1}r;\Rightarrow r=\frac{-I_{1}d}{I_2-I_1}\approx -15\text{cm}<0\text{cm};$ (Widerspruch, wie erwartet)

• Fall: Punkt liegt rechts nach Leiter 2, Magnetfelder zeigen in entgegengesetzte Richtungen

  r_1(r) = r;$r_1\left(r\right)=r;$ (Sicht von Leiter 1)

  r_2(r) = r - d;$r_2\left(r\right)=r-d;$ (Sicht von Leiter 2)

  \mathcal{B}(r) = \frac{\mu_0}{2 \pi} \left(\frac{I_2}{r - d} - \frac{I_1}{r}\right) = 0 \,\mathrm{T};$\mathcal{ℬ}\left(r\right)=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\left(\frac{I_2}{r-d}-\frac{I_1}{r}\right)=0\text{T};$

  ⇒ I_2 r = I_1 r - I_1 d; \Rightarrow r = \frac{-I_1 d}{I_2 - I_1} \approx -15 \,\mathrm{cm} < 0 \,\mathrm{cm};$I_{2}r=I_{1}r-I_{1}d;\Rightarrow r=\frac{-I_{1}d}{I_2-I_1}\approx -15\text{cm}<0\text{cm};$ (Widerspruch)

Damit einzige Lösung: r \approx 15 \,\mathrm{cm}$r\approx 15\text{cm}$ ⇒ r_1 \approx 15 \,\mathrm{cm}; \quad r_2 \approx 25 \,\mathrm{cm};$r_1\approx 15\text{cm};r_2\approx 25\text{cm};$

(Benötigte Zeit: 127 min)