«K12/K13» Der Hall-Effekt «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Der Hall-Effekt

[Wichtig: Kleine Verschiebung der Lötstellen bei der Messung der Hallspannung resultiert in geringfügig anderer Spannung; diese kann aber "weggeeicht" werden.]

Letzte Stunde: F_{\text{el}} = \mathcal{B} e v_{\text{D}} = \mathcal{E} e = \frac{U_{\text{H}}}{d} e; \Rightarrow U_{\text{H}} = \mathcal{B} d v_{\text{D}};$F_{\text{el}}=\mathcal{ℬ}e{v}_{\text{D}}=\mathcal{ℰ}e=\frac{U_{\text{H}}}{d}e;\Rightarrow U_{\text{H}}=\mathcal{ℬ}d{v}_{\text{D}};$

Wegen Metzler und Formelsammlung werden wir b$b$ in d$d$ umbenennen, also U_{\text{H}} = \mathcal{B} b v_{\text{D}};$U_{\text{H}}=\mathcal{ℬ}b{v}_{\text{D}};$ \left[\frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{m}^2} \mathrm{m} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right]$\left[\frac{\text{Vs}}{{\text{m}}^2}\text{m}\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$

[Damit ist d$d$ die Dicke des Plättchens nach hinten, b$b$ die Höhe und l$l$ die Breite (von links nach rechts)]

Einschub: Volumenströme

v_{\text{Wasser}} = 5 \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}};$v_{\text{Wasser}}=5\frac{\text{cm}}{\text{s}};$

I_{\text{Wasser}} = A \cdot v_{\text{Wasser}} = A \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T};$I_{\text{Wasser}}=A\cdot v_{\text{Wasser}}=A\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{\text{d}V}{\text{d}T};$ \left[\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}}\right]$\left[\frac{{\text{m}}^3}{\text{s}}\right]$

(Allgemein gilt: I_{\text{Volumen}} = A \cdot v_\perp;$I_{\text{Volumen}}=A\cdot v_{\perp };$ \left[\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}}\right]$\left[\frac{{\text{m}}^3}{\text{s}}\right]$)

I_Q = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T} = \underbrace{e}_{\scriptsize\begin{array}{l}\left[\mathrm{As}\right]\\\text{Ladung der}\\\text{strömungs-}\\\text{fähigen Teil-}\\\text{chen, hier:}\\\text{Ladung der}\\\text{Elektronen}\end{array}} \underbrace{n}_{\scriptsize\begin{array}{l}\left[\frac{1}{\mathrm{m}^3}\right]\\\text{Teilchendichte}\\\text{der strömungs-}\\\text{fähigen La-}\\\text{dungen, hier:}\\\text{Elektronen}\end{array}} \underbrace{\underbrace{A}_{\scriptsize\left[\mathrm{m}^2\right]} \underbrace{v_{\text{D}}}_{\scriptsize\left[\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right]}}_{\scriptsize\text{Volumenstrom}}\!\!;$I_Q=\frac{\text{d}Q}{\text{d}T}=\underset{\begin{array}{c}\left[\text{As}\right]\hfill \\ \text{Ladung der}\hfill \\ \text{strmungs-}\hfill \\ \text{fhigen Teil-}\hfill \\ \text{chen, hier:}\hfill \\ \text{Ladung der}\hfill \\ \text{Elektronen}\hfill \end{array}}{\underbrace{e}}\underset{\begin{array}{c}\left[\frac{1}{{\text{m}}^3}\right]\hfill \\ \text{Teilchendichte}\hfill \\ \text{der strmungs-}\hfill \\ \text{fhigen La-}\hfill \\ \text{dungen, hier:}\hfill \\ \text{Elektronen}\hfill \end{array}}{\underbrace{n}}\underset{\text{Volumenstrom}}{\underbrace{\underset{\left[{\text{m}}^2\right]}{\underbrace{A}}\underset{\left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]}{\underbrace{v_{\text{D}}}}}};$

→ v_{\text{D}}$v_{\text{D}}$ eleminierbar

⇒ v_{\text{D}} = \frac{1}{e n} \frac{I}{\underbrace{A}_{b d}};$v_{\text{D}}=\frac{1}{en}\frac{I}{\underset{bd}{\underbrace{A}}};$

U_{\text{H}} = \mathcal{B} b \frac{1}{e n} \frac{I}{b d} = \frac{1}{e n} \frac{I \mathcal{B}}{d} \equiv \underbrace{R_{\text{H}}}_{\left[\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{C}}\right]} \underbrace{\frac{\mathcal{B} I}{d}}_{\left[\frac{\mathrm{Vs} \mathrm{C}}{\mathrm{m}^2 \mathrm{m} \mathrm{s}}\right]}\!;$U_{\text{H}}=\mathcal{ℬ}b\frac{1}{en}\frac{I}{bd}=\frac{1}{en}\frac{I\mathcal{ℬ}}{d}\equiv \underset{\left[\frac{{\text{m}}^3}{\text{C}}\right]}{\underbrace{R_{\text{H}}}}\underset{\left[\frac{\text{Vs}\text{C}}{{\text{m}}^2\text{m}\text{s}}\right]}{\underbrace{\frac{\mathcal{ℬ}I}{d}}};$

[n$n$ ist für die Herstellung von Hallsonden sehr wichtig, da U_{\text{H}} \sim \frac{1}{n}$U_{\text{H}}\sim \frac{1}{n}$. Je kleiner n$n$ ist – also je weniger strömungsfähige Teilchen pro Volumen vorkommen – desto größer wird U$U$.

Deswegen sind Hallsonden mit Kupferleitern prinzipiell nicht mög­lich; Bei p-dotierten Halbleitern ist U_{\text{H}}$U_{\text{H}}$ um sechs (!) Größenordnungen größer.]

0.0.1.1 ↑ Sinans Version der Berechnung der Hallspannung

F_{\text{L}} = F_{\text{el}}; \Rightarrow \mathcal{B} e v = \mathcal{E} e = \frac{U}{d} e;$F_{\text{L}}=F_{\text{el}};\Rightarrow \mathcal{ℬ}ev=\mathcal{ℰ}e=\frac{U}{d}e;$

⇒ U = \mathcal{B} v d;$U=\mathcal{ℬ}vd;$

I = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = \underbrace{e n}_{= \varrho_Q \,\left[\frac{\mathrm{As}}{\mathrm{m}^3}\right]} A v; \Rightarrow v = \frac{1}{e n} \frac{I}{\underbrace{A}_{= b d}};$I=\frac{\text{d}Q}{\text{d}t}=\underset{={\varrho }_Q\left[\frac{\text{As}}{{\text{m}}^3}\right]}{\underbrace{en}}Av;\Rightarrow v=\frac{1}{en}\frac{I}{\underset{=bd}{\underbrace{A}}};$

⇒ U = \mathcal{B} d \frac{1}{e n} \frac{I}{b d} = \frac{1}{e n} \frac{\mathcal{B} I}{d};$U=\mathcal{ℬ}d\frac{1}{en}\frac{I}{bd}=\frac{1}{en}\frac{\mathcal{ℬ}I}{d};$