«K12/K13» Differentialgleichungen «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Differentialgleichungen

Gleichung, deren Lösungsmenge aus Zahlen besteht ≠ Gleichung, deren Lösungsmenge aus Funktionen besteht

1. Bekannt:

   7x^3 - 15x^2 + 2x - 9 = 0;$7x^3-15x^2+2x-9=0;$

   D = \mathds{R}; \quad L = \text{irgendeine Teilmenge aus }\mathds{R};$D=\mathbb{ℝ};L=\text{irgendeine Teilmenge aus }\mathbb{ℝ};$

2. Neu:

   5 \mathrm{f}'''(x) - \frac{1}{\left(\mathrm{f}'(x)\right)^2} + \sqrt{\mathrm{f}(x)} + \frac{1}{\lg \mathrm{f}'(x)} = 0;$5{\text{f}}^{\prime \prime \prime }\left(x\right)-\frac{1}{{\left({\text{f}}^{\prime }\left(x\right)\right)}^2}+\sqrt{\text{f}\left(x\right)}+\frac{1}{lg{\text{f}}^{\prime }\left(x\right)}=0;$

   \begin{array}{@{}rcl} {} D &=& \text{Menge von Funktionen, die} \\ {} & & \text{mindestens dreimal ableitbar sind und} \\ {} & & \text{deren Funktionswerte größer als }0\text{ sind}; \end{array}$\begin{array}{ccc}\hfill D& \hfill =\hfill & \text{Menge von Funktionen, die}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \text{mindestens dreimal ableitbar sind und}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \text{deren Funktionswerte grer als }0\text{ sind};\hfill \end{array}$

0.0.1.1 ↑ Aufstellen und Auswerten von Differentialgleichungen in der Physik

Relaxationssystem

Kondensator

[Stromkreis: Kondensator C$C$ (Q = C U$Q=CU$), verbunden mit Widerstand R$R$ (U = R \dot Q$U=R\dot{Q}$)]

Uns interessiert U(t)$U\left(t\right)$ bzw. I(t)$I\left(t\right)$.

Maschenregel: U_1(t) + U_2(t) = 0;$U_1\left(t\right)+U_2\left(t\right)=0;$

\frac{Q(t)}{C} + R \dot Q(t) = 0;$\frac{Q\left(t\right)}{C}+R\dot{Q}\left(t\right)=0;$

Q(t) = Q_0 \, e^{-\frac{t}{\tau}};$Q\left(t\right)=Q_0{e}^{-\frac{t}{\tau }};$ ("intelligent geraten")

\dot Q(t) = Q_0 \, e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \left(-\frac{1}{\tau}\right);$\dot{Q}\left(t\right)=Q_0{e}^{-\frac{t}{\tau }}\cdot \left(-\frac{1}{\tau }\right);$

\frac{1}{C} Q_0 \, e^{-\frac{t}{\tau}} - \frac{R}{\tau} Q_0 \, e^{-\frac{t}{\tau}} = 0;$\frac{1}{C}{Q}_0{e}^{-\frac{t}{\tau }}-\frac{R}{\tau }{Q}_0{e}^{-\frac{t}{\tau }}=0;$

\tau = RC;$\tau =RC;$ \left[1 \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}} \frac{\mathrm{As}}{\mathrm{V}} = 1 \,\mathrm{s}\right]$\left[1\frac{\text{V}}{\text{A}}\frac{\text{As}}{\text{V}}=1\text{s}\right]$

Q(t) = Q_0 \, e^{-\frac{t}{RC}};$Q\left(t\right)=Q_0{e}^{-\frac{t}{RC}};$

I(t) = -\underbrace{\frac{Q_0}{RC}}_{I_0} \, e^{-\frac{t}{RC}};$I\left(t\right)=-\underset{I_0}{\underbrace{\frac{Q_0}{RC}}}{e}^{-\frac{t}{RC}};$

Spule

[Stromkreis: Spule L$L$ (U = L \dot I$U=Lİ$), verbunden mit Widerstand R$R$ (U = R I$U=RI$)]

Uns interessiert U(t)$U\left(t\right)$ bzw. I(t)$I\left(t\right)$.

Maschenregel: U_1(t) + U_2(t) = 0;$U_1\left(t\right)+U_2\left(t\right)=0;$

L \dot I(t) + R I(t) = 0;$Lİ\left(t\right)+RI\left(t\right)=0;$

I(t) = I_0 \, e^{-\frac{t}{\tau}};$I\left(t\right)=I_0{e}^{-\frac{t}{\tau }};$

\dot I(t) = -\frac{I_0}{\tau} \, e^{-\frac{t}{\tau}};$İ\left(t\right)=-\frac{I_0}{\tau }{e}^{-\frac{t}{\tau }};$

-\frac{I_0}{\tau} L + R I_0 = 0;$-\frac{I_0}{\tau }L+R{I}_0=0;$

\tau = \frac{L}{R};$\tau =\frac{L}{R};$

I(t) = I_0 \, e^{-\frac{R}{L} t};$I\left(t\right)=I_0{e}^{-\frac{R}{L}t};$

Der ungedämpfte Schwingkreis

[Stromkreis: Kondensator C$C$ (Q = C U$Q=CU$), verbunden mit Spule L$L$ (U = L \dot I = L \ddot Q$U=Lİ=L\ddot{Q}$; [Ersetzung von \dot I$İ$ mit \ddot Q$\ddot{Q}$] damit nur eine Funktion gesucht ist)]

U_C(t) + U_L(t) = 0;$U_C\left(t\right)+U_L\left(t\right)=0;$

\frac{Q(t)}{C} + L \ddot Q(t) = 0;$\frac{Q\left(t\right)}{C}+L\ddot{Q}\left(t\right)=0;$

Q(t) = Q_0 \sin \omega t;$Q\left(t\right)=Q_{0}sin\omega t;$

\ddot Q(t) = -\omega^2 Q_0 \sin \omega t;$\ddot{Q}\left(t\right)=-{\omega }^2{Q}_{0}sin\omega t;$

\frac{Q_0}{C} - L \omega^2 Q_0 = 0;$\frac{Q_0}{C}-L{\omega }^2{Q}_0=0;$

\omega^2 = \frac{1}{LC};${\omega }^2=\frac{1}{LC};$ \left[1 \frac{1}{\frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{A}} \frac{\mathrm{As}}{\mathrm{V}}} = 1 \frac{1}{\mathrm{s}}\right]$\left[1\frac{1}{\frac{\text{Vs}}{\text{A}}\frac{\text{As}}{\text{V}}}=1\frac{1}{\text{s}}\right]$

\omega = \frac{2 \pi}{T};$\omega =\frac{2\pi }{T};$ ⇒ T = 2\pi \sqrt{LC};$T=2\pi \sqrt{LC};$

0.0.1.2 ↑ Differentialgleichung für gedämpfte Schwingungen

\ddot x(t) + 2 \gamma \dot x(t) + \omega_0^2 x(t) = f_0 \cos \omega t;$\ddot{x}\left(t\right)+2\gamma ẋ\left(t\right)+{\omega }_0^{2}x\left(t\right)=f_{0}cos\omega t;$

Die allgemeine Lösung ist:

x(t) = A_1 \sin(\omega_1 t + \varphi_1) \cdot e^{-\gamma t} + A_2 \cos(\omega t + \varphi);$x\left(t\right)=A_{1}sin\left({\omega }_{1}t+{\varphi }_1\right)\cdot e^{-\gamma t}+A_{2}cos\left(\omega t+\varphi \right);$

Nach dem Einschwingvorgang bleibt nur der zweite Term:

x(t) = A_2 \cos(\omega_t + \varphi);$x\left(t\right)=A_{2}cos\left({\omega }_t+\varphi \right);$

In die Differentialgleichung eingesetzt ergibt sich für die Phase zwischen Anregungssignal und Antwort des Oszillators:

\varphi = \arctan -\dfrac{2 \gamma \omega}{\omega_0^2 - \omega^2};$\varphi =arctan-\frac{2\gamma \omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2};$

Und für die Amplitude:

A_2 = \dfrac{f_0}{\sqrt{\left(\omega_0^2 - \omega^2\right)^2 + \left(2 \gamma \omega\right)^2}};$A_2=\frac{f_0}{\sqrt{{\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)}^2+{\left(2\gamma \omega \right)}^2}};$

Die Breite der Resonanz ist:

\Delta w = 2 \sqrt{3} \cdot \gamma;$\Delta w=2\sqrt{3}\cdot \gamma ;$